જો $(1 + x)^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \dots + c_nx^n$ હોય,તો $c_0 - 3c_1 + 5c_2 - \dots + (-1)^n(2n + 1)c_n$ ની કિંમત શું થાય?

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય કે જેથી $n \ge 3$,તો શ્રેણી $1 \cdot n - \frac{(n - 1)}{1!} (n - 1) + \frac{(n - 1)(n - 2)}{2!} (n - 2) - \frac{(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{3!} (n - 3) + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$(3x-1)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ (જ્યાં $r=0, 1, 2, \ldots, 15$) ના સહગુણકોનો સરવાળો નીચેનામાંથી કયા વિસ્તરણના દ્વિપદી સહગુણકોના સરવાળા જેટલો છે?
$(a)\ (1+x)^{15}$
$(b)\ (1+x)^{16}+(1-x)^{16}$
$(c)\ (1+x)^{16}-(1-x)^{16}$

ધારો કે $S_1 = \sum_{j=1}^{10} j(j-1) \binom{10}{j}$,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j}$,અને $S_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j}$.
વિધાન $(A) : S_3 = 55 \times 2^9$
કારણ $(R) : S_1 = 90 \times 2^8$ અને $S_2 = 10 \times 2^8$

ધારો કે $(1 + x)^m = C_0 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + . . . + C_mx^m$,જ્યાં $C_r = {}^mC_r$ અને $A = C_1C_3 + C_2C_4 + C_3C_5 + . . . + C_{m-2}C_m$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?

બાઈનરી સિક્વન્સ એ $0$ અને $1$ ની શ્રેણી છે. $n$-અંકની બાઈનરી સિક્વન્સ કે જેમાં $0$ ની સંખ્યા બેકી હોય તેની સંખ્યા કેટલી છે?